Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=BC=2，AA₁=1，则异面直线A₁D与BD₁所成角的余弦值为（　　）

• A、0
• B、

  2 2

  3

• C、

  5

  5

• D、-

  5

  5

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,作图题

分析：通过平行，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中首先作出角，然后求角．

解答： 解：连结AD₁，交A₁D于点E，取AB的中点F，连结EF，
则EF∥BD₁
则EF与直线A₁D所成的角就是异面直线A₁D与BD₁所成的角；
在△EFD中，
ED=

A1D

2

=

1

2

1+22

=

5

2

，
EF=

1+( 5 2 )2

=

3

2

，
DF=

1+22

=

5

，
则cos∠DEF=

ED2+EF2-DF2

2•ED•EF

=

( 5 2 )2+( 3 2 )2- 5 2

2• 5 2 • 3 2

=-

5

5

，
则异面直线A₁D与BD₁所成的角α为∠DEF的补角；
即cosα=-cos∠DEF=

5

5

，
则选C．

点评：本题难在作出异面直线A₁D与BD₁所成角，注意平行关系．