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如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点.|AF|的最大值是M,|BF|的最小值是m,满足M•m=
3
4
a2
(1)求该椭圆的离心率;
(2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点.记△GFD的面积为S1,△OED的面积为S2,求
2S1S2
S12+S22
的取值范围.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(1)过点F的直线交椭圆于A,B两点.|AF|的最大值是M=a+c,|BF|的最小值是m=a-c,结合M•m=
3
4
a2即可求出离心率;
解答: 解:(1)设F(-c,0)(c>0),则根据椭圆性质得M=a+c,m=a-c,而M•m=
3
4
a2
,所以有a2-c2=
3
4
a2
,即a2=4c2,a=2c,
因此椭圆的离心率为e=
c
a
=
1
2
.(4分)
(2)由(1)可知a=2c,b=
a2-c2
=
3
c
,椭圆的方程为
x2
4c2
+
y2
3c2
=1

根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零,设直线AB的方程为y=k(x+c),
并设A(x1,y1),B(x2,y2)则由
y=k(x+c)
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0
从而有x1+x2=-
8ck2
4k2+3
y1+y2=k(x1+x2+2c)=
6ck
4k2+3
,(6分)
所以G(-
4ck2
4k2+3
3ck
4k2+3
)

因为DG⊥AB,所以
3ck
4k2+3
-
4ck2
4k2+3
-xD
•k=-1
xD=-
ck2
4k2+3

由Rt△FGD与Rt△EOD相似,所以
S1
S2
=
GD2
OD2
=
(-
4ck2
4k2+3
+
ck2
4k2+3
)
2
+(
3ck
4k2+3
)
2
(-
ck2
4k2+3
)
2
=9+
9
k2
>9
.(10分)
S1
S2
=t
,则t>9,从而
2S1S2
S12+S22
=
2
t+
1
t
2
9+
1
9
=
9
41
,即
2S1S2
S12+S22
的取值范围是(0,
9
41
)
.(12分)
(2)设过焦点F的直线AB的方程为y=k(x+c),与椭圆方程联立,进而表示出点G、点D,然后表示出面积,从而求出.
点评:本小题考查椭圆的离心率的有关运算,直线和椭圆的综合应用,考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
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B、
2
2
3
C、
5
5
D、-
5
5

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sin(-390°)=(  )
A、
1
2
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1
2
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3
2
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3
2

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