Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x²+2x．
（1）求x＞0时，函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数g（x）=f（x）-a的零点个数；
（3）若函数g（x）=f（x）-2ax+2，当x∈[1，2]，记函数g（x）的最大值与最小值之差为M（a），求M（a）．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设x＞0，结合函数的奇偶性，从而得到函数的解析式；
（2）画出函数f（x）的图象，通过读图，得到g（x）的零点的个数；
（3）先求出g（x）的表达式，求出对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数g（x）的最值，从而求出M（a）的表达式．

解答： 解：（1）设x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=x²-2x，
∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴x＞0时，f（x）=x²-2x；
（2）由（1）得：f（x）=

x2+2x，(x≤0) x2-2x，(x＞0)

，
画出函数f（x）的图象，如图示：
，
∴当a＜-1时，g（x）无零点，
当a=-1时，g（x）有2个零点，
当-1＜a＜0时，g（x）有4个零点，
当a=0时，g（x）有3个零点，
当a＞0时，g（x）有2个零点；
（3）当x∈[1，2]，f（x）=x²-2x，
∴g（x）=f（x）-2ax+2=x²-2（a+1）x+2，
对称轴x=a+1，g（1）=-2a+1，g（2）=-4a+2，
①a+1≤1，即a≤0时，g（x）在[1，2]递增，
∴g（2）最大，g（1）最小，
∴M（a）=g（2）-g（1）=-2a+1，
②1＜a+1＜

3

2

，即0＜a＜

1

2

时，g（x）在[1，a+1）递减，在（a+1，2]递增，
∴g（2）最大，g（a+1）最小，
∴M（a）=g（2）-g（a+1）=a²-2a+1，
③

3

2

≤a+1＜2，即

1

2

≤a＜1时，g（x）在[1，a+1）递减，在（a+1，2]递增，
∴g（1）最大，g（a+1）最小，
∴M（a）=g（1）-g（a+1）=a²，
④a+1≥2，即a≥1时，g（x）在[1，2]递减，
∴g（1）最大，g（2）最小，
∴M（a）=g（1）-g（2）=-a²-2a+1，
综上：M（a）=

-2a+1，a≤0 a2-2a+1，0＜a＜ 1 2 a2， 1 2 ≤a＜1 -a2-2a+1，a≥1

．

点评：本题考查了求函数的基础上问题，考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性问题，函数的最值问题，是一道中档题．