Question

已知定义在[0，1]的函数f（x）同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并说明理由；
（2）设m，n∈[0，1]，且m＞n，试比较f（m）与f（n）的大小；
（3）假设存在a∈[0，1]，使得f（a）∈[0，1]且f[f（a）]=a，求证：f（a）=a．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,抽象函数及其应用

专题：综合题,解题方法,反证法

分析：（1）g（x）=2^x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．
（2）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）；
（3）利用反证法，能够推导出f（x₀）=x₀．

解答： 解：（1）显然g（x）=2^x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；
也满足条件②g（1）=1．
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
则g（x₁+x₂）-g（x₁）-g（x₂）=（2x2-1）（2x1-1）≥0，即满足条件③，
故g（x）适合①②③．              
（2）由③知，任给m，n∈[0，1]时，当m＞n时，f（m）-f（n）≥f（m-n），
由于0≤n＜m≤1，∴m-n∈[0，1]，所以f（m）≥f（n）；
（3）由（2）知，若x₀＜f（x₀），则f（x₀）≤f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾；
若x₀＞f（x₀），则f（x₀）≥f[f（x₀）]=x₀，前后矛盾．
故x₀=f（x₀）．

点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质的灵活运用．