Question

设等边三角形的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB、BC、CA的距离分别为d₁、d₂、d₃，则有d₁+d₂+d₃为定值

3

2

a，由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内任意一点，即到四个面ABC，ABD，ACD，BCD的距离分别为d₁、d₂、d₃、d₄，则有d₁+d₂+d₃+d₄为定值（　　）

• A、

  3

  2

  a
• B、

  3

  4

  a
• C、

  6

  3

  a
• D、

  2

  3

  a

Answer 1

考点：类比推理

专题：探究型,推理和证明

分析：通过类比，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积即可．判断求解h₁+h₂+h₃+h₄的定值．

解答： 解：由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d₁，d₂，d₃，则有d₁+d₂+d₃为定值

3

2

a；
证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．
S_△APB=

1

2

a•PE，S_△CPB=

1

2

a•PE，S_△APC=

1

2

a•PG，
于是S_△APB+S_△CPB+S_△APC=

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG，
即

1

2

a•PE+

1

2

a•PF+

1

2

a•PG=S，
∴PE+PF+PG=

2S

a

为定值．
由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：有d₁+d₂+d₃+d₄为定值

6

3

a．
故选：C．

点评：本题考查类比推理，升维类比是一种比较重要的类比方式，要掌握好其类比规则，对于类比还有一点要注意，那就是类比的结论不一定是正确的．