Question

设首项为a₁的正项数列{a_n}的前n项和为S_n，q为非零常数，已知对任意正整数n、m，S_n＋m＝S_m＋q^mS_n总成立．求证：数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

证明：因为对任意正整数n、m，S_n＋m＝S_m＋q^mS_n总成立，令n＝m＝1，得S₂＝S₁＋qS₁，则a₂＝qa₁.令m＝1，得S_n＋1＝S₁＋qS_n　①， 从而S_n＋2＝S₁＋qS_n＋1　②，②－①得a_n＋2＝qa_n＋1(n≥1)，综上得a_n＋1＝qa_n(n≥1)，所以数列{a_n}是等比数列．