Question

8．已知A（0，1），B（0，-1）是椭圆$\frac{x^2}{2}$+y²=1的两个顶点，过其右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点，与y轴交于P点（异于A，B两点），直线AC与直线BD交于Q点．
（Ⅰ）当|CD|=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$时，求直线l的方程；
（Ⅱ）求证：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可设直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求出直线l的斜率，则直线方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的条件写出AC、BD的方程，联立求出Q的坐标，结合（Ⅰ）中的根与系数的关系化简Q，然后由数量积的坐标运算可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值．

解答 解：（Ⅰ）由题设条件可知，直线l的斜率一定存在，F（1，0），
设直线l的方程为y=k（x-1）（k≠0且k≠±1）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y并整理，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}}$
=$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$．
由已知，得$\frac{2\sqrt{2}（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，解得k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1），
即x-$\sqrt{2}$y-1=0或x+$\sqrt{2}$y-1=0；
（Ⅱ）由C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（0，1），B（0，-1），得
直线AC的方程为y=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$x+1，直线BD的方程为y=$\frac{{y}_{2}+1}{{x}_{2}}-1$x-1，
联立两条直线方程并消去x，得$\frac{y-1}{y+1}$=$\frac{{x}_{2}（{y}_{1}-1）}{{x}_{1}（{y}_{2}-1）}$，
∴y_Q=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}+{x}_{1}+{x}_{2}}$．
由（Ⅰ），知y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴x₁y₂+x₂y₁+x₁-x₂=kx₁（x₂-1）+kx₂（x₁-1）+x₁-x₂
=2kx₁x₂-k（x₁+x₂）+x₁-x₂=2k•$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$-k•$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+x₁-x₂
=-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$+x₁-x₂，
x₁y₂-x₂y₁+x₁+x₂=kx₁（x₂-1）-kx₂（x₁-1）+x₁+x₂
=k（x₂-x₁）+x₁+x₂=k（x₂-x₁）+$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$
=-k（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$+x₁-x₂），
∴y_Q=-$\frac{1}{k}$，则Q（x_Q，-$\frac{1}{k}$）．
又P（0，-k），∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=（0，-k）•（x_Q，-$\frac{1}{k}$）=1．
故$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$为定值．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，考查计算能力，是压轴题．