Question

16．若存在两个正数x，y，使得等式${x^2}•{e^{\frac{y}{x}}}-2a{y^2}=0$成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{e^2}{8}，+∞}）$
• B． $（{0，\frac{e^3}{27}}]$
• C． $[{\frac{e^3}{27}，+∞}）$
• D． $（{0，\frac{e^2}{8}}]$

Answer 1

分析 等式变形为x²${e}^{\frac{y}{x}}$=2ay²成立，构造函数f（t）=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{2}}$，求出导函数f'（t）=$\frac{{e}^{t}（{t}^{2}-2t）}{{t}^{4}}$，利用导函数求出函数的最值，得出a的范围．

解答 解：${x^2}•{e^{\frac{y}{x}}}-2a{y^2}=0$成立，
∴x²${e}^{\frac{y}{x}}$=2ay²成立，
∴$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$${e}^{\frac{y}{x}}$=2a，
令t=$\frac{y}{x}$，
∴2a=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{2}}$，
令f（t）=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{2}}$，f'（t）=$\frac{{e}^{t}（{t}^{2}-2t）}{{t}^{4}}$，
当t＞2时，f'（t）＞0，f（t）递增，当t＜2时，f'（t）＜0，f（t）递减，
∴f（t）的最小值为f（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴2a≥$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴a≥$\frac{{e}^{2}}{8}$
故选A．

点评 本题考查了对问题的转化和导函数的应用．属于基本技巧，应熟练掌握．