Question

8．已知圆C：x²+y²-2x-8=0，直线l：x+ay-3a=0．
（1）当直线l与圆C相切时，求实数a的值；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=4$\sqrt{2}$时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线l与圆C相切，圆心C到直线l的距离d=r，建立方程，即可求实数a的值；
（2）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理求出a，即可求直线l的方程．

解答 解：（x-1）²+y²=9，圆心为（1，0），半径为3…2
∵直线l与圆C相切，
∴圆心C到直线l的距离为$\frac{|1-3a|}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=3$…4
∴$a=-\frac{4}{3}$…7
（2）∵直线l与圆C相交于A、B两点，且$AB=4\sqrt{2}$，
∴圆心C到直线l的距离为$\frac{|1-3a|}{{\sqrt{1+{a^2}}}}=1$…10
∴a=0或$a=\frac{3}{4}$…12
∴直线l的方程为：x=0或4x+3y-9=0….14

点评 本题考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．