Question

18．已知中心在坐标系原点，焦点在y轴上的椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过下焦点的直线l交椭圆于A，B两点，点P为椭圆的上顶点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得2c=a①，进而可得椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$②，结合椭圆的几何性质分析可得a²、b²的值，将a²、b²的值代入椭圆的方程即可得答案；
（2）设直线l的方程为y=kx-2．联立直线与椭圆的方程可得（4+3k²）x²-12kx-36=0，由根与系数的关系分析可得|AB|的长，由点到直线的距离公式可得P（0，4）到直线AB的距离d，则可以用k表示△PAB面积S，利用基本不等式的性质分析可得答案．

解答 解：（1）根据题意，因为$e=\frac{1}{2}$，所以2c=a①
又直线y=2与椭圆的两个交点间的距离为6．
所以椭圆过点（3，2），代入椭圆方程得$\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$②
又a²=b²+c²③
由①②③得a²=16，b²=12
所以椭圆方程为$\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1$；
（2）设直线l的方程为y=kx-2
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{\frac{y^2}{16}+\frac{x^2}{12}=1}\end{array}}\right.$得（4+3k²）x²-12kx-36=0
显然△＞0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{4+3{k^2}}}，{x_1}{x_2}=-\frac{36}{{4+3{k^2}}}$，
所以$\begin{array}{l}|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{12k}{{4+3{k^2}}}）}^2}+4×\frac{36}{{4+3{k^2}}}}\end{array}$=$24×\frac{{1+{k^2}}}{{4+3{k^2}}}$
又点P（0，4）到直线AB的距离为$d=\frac{6}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$
所以$S=\frac{1}{2}|{AB}|×d=72×\frac{{\sqrt{1+{k^2}}}}{{4+3{k^2}}}$，
令$t=\sqrt{1+{k^2}}$，则t≥1，k²=t²-1
所以$S=\frac{72t}{{4+3（{t^2}-1）}}=\frac{72t}{{3{t^2}+1}}=\frac{72}{{3t+\frac{1}{t}}}$
因为t≥1，$3t+\frac{1}{t}$在[1，+∞）上单调递增
所以当t=1时，即k=0时，$3t+\frac{1}{t}$取最小值4
所以S_max=18．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键要求出椭圆的标准方程．