Question

已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则函数f（x）性质的以下判断中正确的是（　　）

• A、函数f（x）的最小正周期为

  3π

  2

• B、函数f（x）的单调增区间是[kπ-

  π

  2

  ，kπ+

  π

  2

  ]，k∈Z
• C、函数f（x）的图象关于点（

  π

  6

  ，0）对称
• D、函数g（x）=f（x-

  π

  3

  ）的图象关于直线x=

  π

  12

  对称

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角差的余弦化简f（x），求周期判断A；利用复合函数的单调性求增区间判断B，代入x=

π

6

判断C；求出函数g（x），代入x=

π

12

判断D．

解答： 解：∵f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx
=cos（2x-x）sinx=cosxsinx=

1

2

sin2x．
∴函数f（x）的最小正周期为π．选项A错误；
由-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]，k∈Z．选项B错误；
∵f(

π

6

)=

1

2

sin2×

π

6

=

3

4

．选项C错误；
g（x）=f（x-

π

3

）=

1

2

sin2(x-

π

3

)=

1

2

sin(2x-

2π

3

)．
又g(

π

12

)=

1

2

sin(2×

π

12

-

2π

3

)=-

1

2

．
∴函数g（x）=f（x-

π

3

）的图象关于直线x=

π

12

对称．
故选：D．

点评：本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的余弦公式，是中档题．