Question

11．已知函数f（x）=[ax²-（5a+1）x+7a+3]e^x．
（1）若a=0，求函数f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性，并求出单调区间．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求出函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．
（2）求出函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解，注意要对a进行分类讨论．

解答 解：（1）若a=0，则f（x）=（-x+3）e^x．则f（0）=3，即A（0，3），
f′（x）=（-x+2）e^x．f′（0）=2，
即函数f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为y-3=2（x-0），即y=2x+3．
（2）函数的导数f′（x）=[2ax-（5a+1）]e^x+[ax²-（5a+1）x+7a+3]e^x=[ax²-（3a+1）x+2a+2]e^x=（x-2）[ax-（a+1）]e^x，
①若a=0，则f′（x）=（-x+2）e^x．由f′（x）＞0得-x+2＞0，得x＜2，此时函数单调递增，即增区间为（-∞，2），
由f′（x）＜0得-x+2＜0，得x＞2，此时函数单调递减，即减区间为（2，+∞）．
②若a＞0，由f′（x）＞0得（x-2）[ax-（a+1）]＞0，即a（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，
即（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，
由$\frac{a+1}{a}$=2得a=1，此时不等式（x-2）（x-2）≥0，此时f′（x）≥0恒成立，即函数单调递增，即增区间为（-∞，+∞），
若a＞1，则$\frac{a+1}{a}$＜2，
由f′（x）＞0得（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0得x＞2或x＜$\frac{a+1}{a}$，此时函数单调递增，即增区间为（2，+∞），（-∞，$\frac{a+1}{a}$），
由f′（x）＜0得（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＜0，得$\frac{a+1}{a}$＜x＜2，此时函数单调递减，即减区间为（$\frac{a+1}{a}$，2）．
③若a＜0，由f′（x）＞0得（x-2）[ax-（a+1）]＞0，即a（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，
即（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＜0，
此时$\frac{a+1}{a}$＜2，得不等式的解为$\frac{a+1}{a}$＜x＜2，此时函数单调递增，即增区间为（$\frac{a+1}{a}$，2）．
由f′（x）＜0得a（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＜0得（x-2）（x-$\frac{a+1}{a}$）＞0，得x＞2或x＜$\frac{a+1}{a}$，
此时函数单调递减，即减区间为（2，+∞），（-∞，$\frac{a+1}{a}$）．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解和判断，利用函数单调性的性质以及函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．注意要对a进行分类讨论．