Question

1．设m＞1，在约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$下，目标函数z=x+my的最大值等于2，则m=$1+\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据m＞1，可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）上，由此判断出满足约束条件件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$的平面区域的形状，再根据目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此可得关于m的方程，从而求得m值．

解答 解：∵m＞1，由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤mx}\\{x+y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

直线y=mx与直线x+y=1交于（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$），
目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$）处取得最大值，
由题意可知$\frac{1+{m}^{2}}{m+1}=2$，又∵m＞1，解得m=1+$\sqrt{2}$．
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中根据平面直线方程判断出目标函数z=x+my对应的直线与直线y=mx垂直，且在（$\frac{1}{m+1}，\frac{m}{m+1}$）点取得最大值，并由此列出关于m的方程是解答本题的关键，是中档题．