Question

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）²，（0＜a＜b），g（x）=k（x-b），（k∈R）．
（1）讨论函数f（x）在R上的单调性；
（2）讨论f（x）与g（x）的交点个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的图象

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）在R上的单调性；
（2）由f（x）=g（x）得（x-a）（x-b）²=k（x-b），再分类讨论，即可讨论f（x）与g（x）的交点个数．

解答： 解：f（x）=（x-b）²+2（x-a）（x-b）=（x-b）（3x-2a-b），
∵0＜a＜b，∴b＞

2a+b

3

∴单调递增区间是：(-∞，

2a+b

3

)，（b，+∞），
单调递减区间是：(

2a+b

3

，b)（6分）
（2）由f（x）=g（x）得（x-a）（x-b）²=k（x-b），（x-b）[x²-（a+b）x+ab-k]=0
讨论x²-（a+b）x+ab-k=0根的个数，
当x=b是x²-（a+b）x+ab-k=0的根时，代入得：b²-b（a+b）+ab-k=0，∴k=0
∴当k=0时，方程两根为x₁=a，x₂=b
∴当k=0时f（x）与g（x）有2个交点，…（8分）
当x=b不是x²-（a+b）x+ab-k=0（*）的根时，则k≠0△=（a+b）²-4（ab-k）=（a-b）²+4k
∴k＜-

(a-b)2

4

，方程（*）无解，k=-

(a-b)2

4

，方程（*）有一个解，k＞-

(a-b)2

4

，且k≠0，方程（*）有2个解，且根不为x≠b．
∴综上所述，当k＜-

(a-b)2

4

，f（x）与g（x）有1个交点
当k=0或-

(a-b)2

4

，f（x）与g（x）有2个交点
当k＞-

(a-b)2

4

，且k≠0，f（x）与g（x）有3个交点  …（14分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查交点个数，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．