Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{2}$，且过点$A（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$．
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆C上一点P，使它到直线l：x+y+4=0的距离最短，求点P坐标；  并求出最短距离．

Answer 1

分析 （1）由c=$\sqrt{2}$，将A代入椭圆方程，即可求得b和a的值，求得椭圆方程；
（2）方法一：设P（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），θ∈（0，2π），利用点到直线的距离公式，利用辅助角公式，及正弦函数的性质，即可取得P点坐标，及P到直线l的最小值；
方法二：设与l平行的方程，与椭圆联立由△=0，求得b的值，联立即可求得交点坐标，即可取得P点坐标，及P到直线l的最小值．

解答 解：（1）由题意可知：2c=2$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，a²=b²+c²=b²+2，
将$A（\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$．代入$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+2}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）方法一：设P（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），θ∈（0，2π），
则P到直线l：x+y+4=0的距离d=$\frac{丨\sqrt{3}cosθ+sinθ+4丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•丨2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+4丨，
当sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-1时，即θ=$\frac{7π}{6}$，d取最小值，最小值为$\sqrt{2}$，
则P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴当P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），P到直线l：x+y+4=0的距离d取最小值，最小值为$\sqrt{2}$，
方法二：设与直线l：x+y+4=0平行的直线x+y+b=0与椭圆相切，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+y+b=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：4x²+6bx+3b²-3=0，
由△=（6b）²-16（3b²-3）=0，解得：b=±2，
则b=2时，直线l与直线x+y+2=0距离d=$\frac{丨4-2丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
当b=-2时，直线l与直线x+y-2=0的距离d=$\frac{丨4-（-2）丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=3$\sqrt{2}$，
当$\left\{\begin{array}{l}{x+y+2=0}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，4x²+12x+9=0，解得：x=-$\frac{3}{2}$，
代入y=-2-x=-$\frac{1}{2}$，
则P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴当P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），P到直线l：x+y+4=0的距离d取最小值，最小值为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的参数方程，辅助角公式，正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．