Question

1．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且$f'（x）＜\frac{1}{2}$，则$f（x）＜\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$的解集为（　　）

• A． {x|-1＜x＜1}
• B． {x|x＞-1}
• C． {x|x＜-1或x＞1}
• D． {x|x＞1}

Answer 1

分析 先由f′（x）＜$\frac{1}{2}$，知函数g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x为R上的减函数，将所解不等式化为g（x）＜g（1），最后利用单调性解不等式即可．

解答 解：∵f（1）=1，∴f（1）-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴（f（x）-$\frac{1}{2}$x）′＜0，令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
则g′（x）＜0，g（x）为R上的减函数，
∵不等式f（x）＜$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$，即f（x）-$\frac{1}{2}$x＜$\frac{1}{2}$，
等价于f（x）-$\frac{1}{2}$x＜f（1）-$\frac{1}{2}$，等价于g（x）＜g（1），等价于x＞1，
故选：D．

点评 本题考查了导数在解决函数单调性问题时的应用，解题时要认真观察，发现规律，构造函数解题，有一定的难度，属于中档题．