Question

16．已知直线l：（2k+1）x+（k-1）y-（4k-1）=0（k∈R）与圆C：x²+y²-4x-2y+1=0交于A，B两点．
（1）求|AB|最小时直线l的方程，并求此时|AB|的值；
（2）求过点P（4，4）的圆C的切线方程．

Answer 1

分析 （1）直线l经过定点M（1，2）．判断出点M（1，2）在圆C的内部，所以当直线l⊥MC时，弦长|AB|取得最小值；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．

解答 解：（1）直线l的方程可化为（2x+y-4）k+（x-y+1）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ x-y+1=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$，故直线l经过定点M（1，2）．
判断出点M（1，2）在圆C的内部，所以当直线l⊥MC时，弦长|AB|取得最小值，
因为圆C：x²+y²-4x-2y+1=0，所以圆心C（2，1），半径r=2，${k_{MC}}=\frac{1-2}{2-1}=-1$，k₁=1，即y-2=x-1，
所以直线l的方程为x-y+1=0，此时$|{AB}|=2\sqrt{{r^2}-{{|{MC}|}^2}}=2\sqrt{4-2}=2\sqrt{2}$．
（2）由题意知，点P（4，4）不在圆上，
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为$m＜\sqrt{10}-1$，即kx-y-4k+4=0，
由圆心到切线的距离等于半径，得$\frac{{|{2k-1+4-4k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{5}{12}$，
所以所求切线的方程为5x-12y+28=0．
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4，
综上，所求切线的方程为x=4或5x-12y+28=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．