Question

11．已知向量$\overrightarrow a=（1，1），\overrightarrow b=（1，0），\overrightarrow c$满足$\overrightarrow a•\overrightarrow c=0$且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow c|，\overrightarrow b•\overrightarrow c＞0$．
（1）求向量$\overrightarrow c$；
（2）若$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow c$，点P（x，4）在线段AC的垂直平分线上，求x的值．

Answer 1

分析 （1）设$\overrightarrow{c}$=（x，y），根据条件列出方程组解出即可；
（2）求出AC的中点坐标D，根据$\overrightarrow{PD}⊥\overrightarrow{AC}$列方程解出x．

解答 解：（1）设$\overrightarrow{c}$=（x，y），则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=x+y，$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\\{x＞0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-1，∴$\overrightarrow{c}$=（1，-1）．
（2）∵$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}=（1，1）$，$\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{c}=（3，-3）$，
∴A（1，1），C（3，-3），
设AC的中点为D，则D（2，-1），
∴$\overrightarrow{PD}$=$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OP}$=（2-x，-5），$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}$=（2，-4），
∵P（x，4）在线段AC的垂直平分线上，
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PD}=0$，即2（2-x）+20=0，
解得：x=12．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与数量积的关系，属于中档题．