Question

17．已知函数f（x）=|2x+1|+|x-2|，集合A={x|f（x）＜3}
（1）求A；
（2）若s，t∈A，求证|1-$\frac{t}{s}$|＜|t-$\frac{1}{s}$|

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可解不等式；
（2）不妨设-$\frac{2}{3}$＜s＜t＜0，则$\frac{t}{s}$＜1，要证明|1-$\frac{t}{s}$|＜|t-$\frac{1}{s}$|，证明1-$\frac{t}{s}$＜-t+$\frac{1}{s}$，利用分析法即可证明．

解答 （1）解：由题意，|2x+1|+|x-2|＜3，
x＜-$\frac{1}{2}$，不等式化为-2x-1-x+2＜3，即x＞-$\frac{2}{3}$，∴-$\frac{2}{3}$＜x＜-$\frac{1}{2}$；
-$\frac{1}{2}$≤x≤2，不等式化为2x+1-x+2＜3，即x＜0，∴-$\frac{1}{2}$≤x＜0；
x＞2，不等式化为2x+1+x-2＜3，即x＜$\frac{4}{3}$，不成立，
综上所述，不等式的解集为{x|-$\frac{2}{3}$＜x＜0}；
（2）证明：不妨设-$\frac{2}{3}$＜s＜t＜0，则$\frac{t}{s}$＜1，
要证明|1-$\frac{t}{s}$|＜|t-$\frac{1}{s}$|，证明1-$\frac{t}{s}$＜-t+$\frac{1}{s}$，
只要证明（1+t）（1-s）＞0，
∵-$\frac{2}{3}$＜s＜t＜0，
∴（1+t）（1-s）＞0，
∴|1-$\frac{t}{s}$|＜|t-$\frac{1}{s}$|．

点评 本题考查不等式的解法与证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．