Question

20．设复数z满足|z|=$\sqrt{13}$，且（2+3i）z（i是虚数单位）在复平面上对应的点在虚轴上，求z．

Answer 1

分析 设z=x+yi（x、y∈R），由已知可得关于x，y的方程组，求解方程组得答案．

解答 解：设z=x+yi（x、y∈R），∵$|z|=\sqrt{13}$，∴x²+y²=13，
而（2+3i）z=（2+3i）（x+yi）=（2x-3y）+（3x+2y）i，
又∵（2+3i）z在复平面上对应的点在虚轴上，
∴2x-3y=0，
联立$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+{y^2}=13}\\{x=\frac{3}{2}y\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-2\end{array}\right.$．
即z=±（3+2i）．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．