Question

8．已知a∈R，f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．
（1）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（2）当f（x）为奇函数时，对给定的正数k，求使f^-1（x）＞log₂$\frac{1+x}{k}$成立的x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）+f（-x）=0，得$a+\frac{-2}{{2}^{x}+1}+a+\frac{-2}{{2}^{-x}+1}=0$，由此能求出当a=1时，f（x）是奇函数．
（2）f（x）=1+$\frac{-2}{{2}^{x}+1}$，令y=1+$\frac{-2}{{2}^{x}+1}$，得${f}^{-1}（x）=lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$，从而$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$＞$lo{g}_{2}\frac{1+x}{k}$，由此能求出使f^-1（x）＞log₂$\frac{1+x}{k}$成立的x的取值范围．

解答 解：（1）∵a∈R，f（x）=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$=a+$\frac{-2}{{2}^{x}+1}$，（x∈R）．
∴$f（-x）=a+\frac{-2}{{2}^{-x}+1}$，
由f（x）+f（-x）=0，得$a+\frac{-2}{{2}^{x}+1}+a+\frac{-2}{{2}^{-x}+1}=0$，
整理，得2a=$\frac{2}{{2}^{x}+1}+\frac{2}{{2}^{-x}+1}$=2×$\frac{{2}^{-x}+1+{2}^{x}+1}{（{2}^{x}+1）（{2}^{-x}+1）}$=2，
解得a=1，∴当a=1时，f（x）是奇函数．
（2）由（1）得f（x）=1+$\frac{-2}{{2}^{x}+1}$，
令y=1+$\frac{-2}{{2}^{x}+1}$，得${2}^{x}+1=\frac{2}{1-y}$，
即${2}^{x}=\frac{1+y}{1-y}$，∴x=log₂$\frac{1+y}{1-y}$，即${f}^{-1}（x）=lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$，
代入不等式，得$lo{g}_{2}\frac{1+x}{1-x}$＞$lo{g}_{2}\frac{1+x}{k}$，∴k＞1-x，
∵k＞0，∴x＞1-k，
∵函数的定义域是[-1，1]，
∴使f^-1（x）＞log₂$\frac{1+x}{k}$成立的x的取值范围为（1-k，1]．

点评 本题考查实数值的求法，考查不等式的解法，考查反函数、对数不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．