Question

【题目】四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）为中点，在四边形所在的平面内是否存在一点，使得平面，若存在，求三角形的面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（I）详见解析；（II）；（III）存在，理由见解析，三角形的面积为.

【解析】

（I）通过证明，证得平面，由此证得平面平面.

（II）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.

（III）先假设存在符合题意的，然后利用向量的数量积运算，求得点的坐标，由此证得点存在，并求得三角形的面积.

（I）由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，所以平面平面.

（II）由已知条件可知两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，则

,.依条件知是平面的一个法向量.设是平面的法向量，，由，令，得.设二面角的平面角为，则.

（III）假设存在点满足条件，设，则，，所以，解得，所以存在满足条件，此时.