Question

下列命题中真命题的个数为（　　）
①?x₀∈R，使得sinx+cosx=2．
②锐角△ABC中，恒有tanAtanB＞1．
③?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0成立的充要条件为：-4＜a＜0．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用辅助角公式可知sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，从而可知①错误；
②△ABC为锐角三角形，利用两角和的余弦可推得sinAsinB＞cosAcosB，继而可得tanAtanB＞1，从而可判断②正确；
③由?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0恒成立，可求得-4＜a≤0，于是可知③错误．

解答： 解：①∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，故不存在x₀∈R，使得sinx+cosx=2，①错误；
②∵△ABC为锐角三角形，cosA＞0，cosB＞0，且cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB＞0，
∴sinAsinB＞cosAcosB，整理得：tanAtanB＞1，故②正确；
③?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0恒成立，
∴当a=0时，-1＜0恒成立；
当a≠0时，

a＜0 (-a)2-4a×(-1)＜0

，解得：-4＜a＜0；
综上所述，?x∈R，不等式ax²-ax-1＜0成立的充要条件为：-4＜a≤0，故③错误．
∴命题中真命题的个数为1个．
故选：B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查辅助角公式的应用、恒成立问题及两角和的余弦，属于中档题．