Question

9．设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，且A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．
（1）求A，ω，φ的值；
（2）设θ为锐角，且f（θ）=-$\frac{3}{5}\sqrt{3}$，求f（θ-$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由图象可得A，最小正周期T，利用周期公式可求ω，由$f（{\frac{7π}{12}}）=-\sqrt{3}$，得$φ=-\frac{5π}{3}+2kπ$，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ的值
（2）由已知可求$sin（2θ+\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，由$2θ+\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}}）$，结合$sin（2θ+\frac{π}{3}）＜0$，可得范围$2θ+\frac{π}{3}∈（{π，\frac{4π}{3}}）$，利用同角三角函数基本关系式可求cos（2θ+$\frac{π}{3}$）的值，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．

解答 （本题满分为14分）
解：（1）由图象，得$A=\sqrt{3}$，…（2分）
∵最小正周期$T=\frac{4}{3}（{\frac{7π}{12}+\frac{π}{6}}）=π$，
∴$ω=\frac{2π}{T}=2$，…（4分）
∴$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+φ）$，
由$f（{\frac{7π}{12}}）=-\sqrt{3}$，得$2（{\frac{7π}{12}}）+φ=-\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∴$φ=-\frac{5π}{3}+2kπ$，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴$φ=\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）由$f（θ）=\sqrt{3}sin（2θ+\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}\sqrt{3}$，得$sin（2θ+\frac{π}{3}）=-\frac{3}{5}$，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$2θ+\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}}）$，
又∵$sin（2θ+\frac{π}{3}）＜0$，
∴$2θ+\frac{π}{3}∈（{π，\frac{4π}{3}}）$，
∴$cos（2θ+\frac{π}{3}）=-\sqrt{1-{{sin}^2}（2θ+\frac{π}{3}）}=-\frac{4}{5}$，…（10分）
∴$f（θ-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}sin2θ=\sqrt{3}sin[{（2θ+\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}}]$=$\sqrt{3}[{sin（2θ+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{3}-cos（2θ+\frac{π}{3}）sin\frac{π}{3}}]$=$\sqrt{3}（{-\frac{3}{5}×\frac{1}{2}+\frac{4}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）=\frac{{12-3\sqrt{3}}}{10}$．…（14分）

点评 本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，周期公式，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．