Question

2．如图，已知椭圆Ⅰ与椭圆Ⅱ有公共左顶点A与公共左焦点F，且椭圆Ⅰ的长轴长是椭圆Ⅱ的长釉长的k（k＞1，且k为常数）倍，则椭圆Ⅰ的离心率的取值范围是$（1-\frac{1}{k}，1）$．

Answer 1

分析 设椭圆II的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为e=$\frac{c}{a}$．椭圆I的标准方程为：$\frac{（x-{x}_{0}）^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，设离心率为e₁．由于ka-x₀=a，可得x₀=（k-1）a．于是e₁=$\frac{（k-1）a+c}{ka}$=1+$\frac{1}{k}$（e-1），根据0＜e＜1即可得出．

解答 解：设椭圆II的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为e=$\frac{c}{a}$．
椭圆I的标准方程为：$\frac{（x-{x}_{0}）^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}$=1，设离心率为e₁．
则ka-x₀=a，∴x₀=（k-1）a．
∴e₁=$\frac{（k-1）a+c}{ka}$=1+$\frac{1}{k}$（e-1），
∵0＜e＜1，
∴e₁∈$（1-\frac{1}{k}，1）$．
故答案为：$（1-\frac{1}{k}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．