Question

对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.
（Ⅰ）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？   并说明理由；
（Ⅱ）设是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式 对一切R恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.

Answer 1

（Ⅰ）是“平底型”函数，不是“平底型”函数
（Ⅱ）（Ⅲ）m＝1，n＝1

（1）对于函数，当时，.
当或时，恒成立，故是“平底型”函数（2分）
对于函数，当时，；当时，.
所以不存在闭区间，使当时，恒成立.
故不是“平底型”函数.                          （4分）
（Ⅱ）若对一切R恒成立，则.
因为，所以.又，则.（6分）
因为，则，解得.
故实数的范围是.                               （8分）
（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则
存在区间和常数，使得恒成立.
所以恒成立，即.解得或.  （10分）
当时，.
当时，，当时，恒成立.
此时，是区间上的“平底型”函数.          （11分）
当时，.
当时，，当时，.
此时，不是区间上的“平底型”函数.          （12分）
综上分析，m＝1，n＝1为所求.                      （13分）