Question

19．已知数列{a_n}是以t为首项，以2为公差的等差数列，数列{b_n}满足2b_n=（n+1）a_n．若对n∈N^*都有b_n≥b₄成立，则实数t的取值范围是[-18，-14]．

Answer 1

分析 依题意，可求得b_n=$\frac{1}{2}$（n+1）a_n=（n+1）（2n+t-2），分离参数t，得到t（n-4）≥-2（n-4）（n+4），再对n-4=0，n-4＜0，n-4＞0分类讨论，即可求得实数t的取值范围．

解答 解：∵a_n=t+（n-1）×2=2n+t-2，
∴2b_n=（n+1）a_n=（n+1）（2n+t-2），
∵对n∈N^*都有b_n≥b₄成立，
即$\frac{1}{2}$（n+1）（2n+t-2）≥$\frac{1}{2}$（4+1）（2×4+t-2），
整理得：t（n-4）≥32-2n²=-2（n-4）（n+4），
若n=4，则0≥0，恒成立，故t∈R①；
若1≤n＜4，则t≤-2（n+4）_min=-2（3+4）=-14②；
若n＞4，则t≥-2（n+4）_max=-2（5+4）=-18③，
综合①②③，若对n∈N^*都有b_n≥b₄成立，则-18≤t≤-14，
故答案为：[-18，-14]．

点评 本题考查数列递推式，依题意，分离参数t，得到t（n-4）≥-2（n-4）（n+4）是关键，也是难点，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于难题．