Question

20．如图所示，在△ABC中，AD=DB，点F在线段CD上，设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y+1}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 三点C，F，D共线，则存在实数λ：$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AC}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，又$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，可得λ=y，$\frac{1}{2}$（1-λ）=x，x+$\frac{y+1}{2}$=1，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．．

解答 解：∵三点C，F，D共线，则存在实数λ：$\overrightarrow{AF}$=λ$\overrightarrow{AC}$+（1-λ）$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$（1-λ）$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{a}$+y$\overrightarrow{b}$，∴λ=y，$\frac{1}{2}$（1-λ）=x，
则2x+y=1．∴x+$\frac{y+1}{2}$=1，
则$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y+1}$=$（x+\frac{y+1}{2}）$$（\frac{1}{x}+\frac{4}{y+1}）$=3+$\frac{y+1}{2x}$+$\frac{4x}{y+1}$≥3+2$\sqrt{\frac{y+1}{2x}•\frac{4x}{y+1}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$-1，y=3-2$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了向量共线定理、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．