Question

13．甲、乙比赛射击，射中的概率均为$\frac{1}{2}$，甲射击3次，记射中目标的次数为X，乙射击2次，记射中目标的次数为Y，若X＞Y，则甲获胜，若X＜Y，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率．

Answer 1

分析 甲，乙射击符合独立重复试验，故射击投中的次数为X，Y服从二项分布，由二项分布知识直接求P（X）和P（Y）；
甲获胜有以下情况：X=1，Y=0；X=2，Y=0，1；X=3，η=0，1，2．每种情况互斥，分别求概率再求和即可．
乙获胜有以下情况：Y=1，X=0；Y=2，X=0，1．分别求概率再求和即可

解答 解：甲，乙射击符合独立重复试验，故射击射中的次数为X，Y服从二项分布，
X～B（3，$\frac{1}{2}$），Y～B（2，$\frac{1}{2}$），
（2）P（X=0）=C₃⁰•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
P（X=1）=C₃¹•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，
P（X=2）=C₃²•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{8}$，
P（X=3）=C₃³•（$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
P（Y=0）=C₂⁰•（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
P（Y=1）=C₂¹•（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{2}$，
P（Y=2）=C₂²••（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
甲获胜有以下情况：X=1，Y=0；X=2，Y=0，1；X=3，η=0，1，2．
∴则甲获胜的概率为P（甲）=$\frac{3}{8}×\frac{1}{4}+$$\frac{3}{8}$×（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{8}$×（$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
乙获胜有以下情况：Y=1，X=0；Y=2，X=0，1．
P（乙）=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{8}$+$\frac{3}{8}$）=$\frac{3}{16}$

点评 本题考查独立重复试验的概率、二项分布等知识，考查利用所学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．