Question

2．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sinA+$\sqrt{2}$sinB=2sinC，b=3，当内角C最大时，△ABC的面积等于$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC，把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值即可求出三角形的面积．

解答 解：已知等式利用正弦定理化简得：a+$\sqrt{2}$b=2c，
两边平方得：（a+$\sqrt{2}$b）²=4c²，即a²+2$\sqrt{2}$ab+2b²=4c²，
∴4a²+4b²-4c²=3a²+2b²-2$\sqrt{2}$ab，即a²+b²-c²=$\frac{3{a}^{2}+2{b}^{2}-2\sqrt{2}ab}{4}$，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{3{a}^{2}+2{b}^{2}-2\sqrt{2}ab}{8ab}$=$\frac{1}{8}$（$\frac{3a}{b}$+$\frac{2b}{a}$-2$\sqrt{2}$）
≥$\frac{1}{8}$（2$\sqrt{\frac{3a}{b}•\frac{2b}{a}}$-2$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{8}$（2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$）=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，当且仅当$\frac{3a}{b}$=$\frac{2b}{a}$，即$\sqrt{3}a=\sqrt{2}b$时取等号，
此时a=$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}$，
则cosC的最小值为$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，此时C最大，
此时sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×3×$$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$．
故答案为：$\frac{9+3\sqrt{3}}{4}$

点评 本题主要考查正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键，综合性较强，有一定的难度．