Question

函数f（x）=ax³-bx²+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x₀与x=1处取得极值，给出下列判断：
①c＞0；
②f（1）+f（-1）＞0；
③函数y=f′（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
其中正确的判断是（　　）

• A、①③
• B、②
• C、②③
• D、①②

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求出函数的导数，根据f（x）在x=x₀与x=1处取得极值，求出a，b，c之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：∵函数f（x）=ax³-bx²+cx，且f（x）在x=x₀与x=1处取得极值，
∴a＞0，且f′（x）=3ax²-2bx+c，
则x=x₀与x=1是方程f′（x）=3ax²-2bx+c=0的两个不同的根，
即1+x₀=

2b

3a

，1×x₀=

c

3a

，
则2b=3a（1+x₀），c=3ax₀，
∵由图象可知x₀＜-1，∴c=3ax₀＜0，故①不正确．
∵f（1）+f（-1）=-2b，且2b=3a（1+x₀）＜0，
∴f（1）+f（-1）=-2b＞0，故②正确．
f′（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-1）（x-x₀）是开口向上，对称轴为x=-

-2b

2×3a

=

b

3a

＜0
∴函数y=f′（x）在区间（0，+∞）上是增函数，故③正确
故正确的命题是②③，
故选：C

点评：本题主要考查导数研究函数的应用，求出函数的导数，结合二次函数的性质，判断a，b，c的大小是解决本题的关键．