Question

已知△ABC的顶点A（3，0），B（0，1），C（1，1），P（x，y）在△ABC内部（包括边界），若目标函数z=

ax+by

c

（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a，b）的轨迹可能是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出三角形对应的区域，求出对应的直线斜率，根据目标函数取得最优解的个数有无穷多组，则得到目标函数的斜率与三角形对应边的斜率存在一定的关系，即可得到结论．

解答： 解：作出△ABC对应的平面区域如图：则AB的斜率k_AB=

1-0

0-3

=-

1

3

，
AC的斜率k_AC=

1-0

1-3

=-

1

2

，
目标函数z=

ax+by

c

（a≠0）等价为ax+by=zc，
即y=-

a

b

x+

c

b

z，
若目标函数z=

ax+by

c

（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，
则目标函数的斜率k=k_AB或者k=k_AC，
即-

a

b

=-

1

3

或-

a

b

=-

1

2

，
即b=3a或b=2a，（a≠0），
则点（a，b）的轨迹可能是A，
故选：A

点评：本题主要考查线性规划以及直线斜率的应用，根据目标函数取得最优解的个数，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．