Question

（1）已知函数f（x）=|x-3|+1，g（x）=kx，若函数F（x）=f（x）-g（x） 有两个零点，求k的范围．
（2）函数h（x）=

4-x2

，m（x）=2x+b，若方程h（x）=m（x）有两个不等的实根，求b的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）画出两个函数f（x）=|x-3|+1，g（x）=kx，的图象，利用函数F（x）=f（x）-g（x） 有两个零点，即可求k的范围．
（2）函数h（x）=

4-x2

，m（x）=2x+b，方程h（x）=m（x）有两个不等的实根，画出图象，利用圆的切线关系求出b的取值范围．

解答： 解：（1）因为函数F（x）=f（x）-g（x） 有两个零点，即f（x）=g（x） 有两个不等的实根
即函数f（x）=|x-3|+1与g（x）=kx，有两个不同的交点．
由图象得k的范围．是 （

1

3

，1）．
（2）由h（x）=

4-x2

，得 x²+y²=4（y≥0）即图形是以（0，0）为圆心，以2为半径的上半圆，若方程h（x）=m（x）有两个不等的实根，即两图象有两个不同的交点，
当直线m（x）=2x+b，过（-2，0）时，b=4 有两个交点，当直线与圆相切时

|b|

22+(-1)2

=2，可得b=2

5

，b=-2

5

（舍去）
b的取值范围[2，2

5

）．

点评：本题考查函数与方程的应用，考查数形结合，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．