Question

已知抛物线 y²=4x
（1）倾斜角为

π

4

的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．
（2）在抛物线上求一点P，使得点P到直线 l：x-y+4=0的距离最短，并求最短距离．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）联立直线方程和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，由根与系数关系结合抛物线过焦点的弦长公式得答案；
（2）求出与x-y+4=0平行且与抛物线相切的直线方程，得到切点坐标，由两平行线间的距离求得答案．

解答： 解：（1）由y²=4x，得其焦点坐标为F（1，0），
又直线的倾斜角为

π

4

，则其斜率k=1，
∴A、B所在直线方程为y=x-1．
联立

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6．
∴|AB|=x₁+x₂+p=6+2=8；
（2）如图，

设与直线 l：x-y+4=0平行且与抛物线相切的直线方程为x-y+m=0，
联立

x-y+m=0 y2=4x

，得x²+（2m-4）x+m²=0．
由△=（2m-4）²-4m²=0，解得：m=1．
∴方程x²+（2m-4）x+m²=0化为x²-2x+1=0，解得x=1，则y=1+m=2．
∴P（1，2），
此时点P到直线 l：x-y+4=0的最短距离为d=

|4-1|

2

=

3 2

2

．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了弦长公式的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．