Question

①若锐角α、β满足cosα＞sinβ，则α+β＜

π

2

；
②f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，若θ∈(

π

4

，

π

2

)，则f（sinθ）＞f（cosθ）；
③要得到函数y=cos(

x

2

-

π

4

)的图象，只需将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

2

个单位；
④函数f（x）=lnx+3x-6的零点只有1个且属于区间（1，2）；
⑤若关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，则a∈（0，1）；
其中正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：①利用诱导公式和正弦函数的单调性即可得出；
②利用正弦函数的单调性、函数的奇偶性、单调性即可得出；
③利用图象变换法则和诱导公式即可得出；
④利用函数的单调性和函数零点存在定理即可得出；
⑤利用分类讨论、二次函数图象与一元二次不等式的解集的关系即可得出．

解答： 解：①∵锐角α，β满足cosα＞sinβ，∴0＜

π

2

-α＜

π

2

，且sinβ＜sin(

π

2

-α)，∴0＜β＜

π

2

-α＜

π

2

，即α+β＜

π

2

．
②∵θ∈(

π

4

，

π

2

)，∴sinθ，cosθ∈（0，1），且sinθ＞cosθ．
∵f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，且在[-1，0]上是增函数，
∴函数f（x）在[0，1]上是减函数，
∴f（sinθ）＜f（cosθ）．
故不正确．
③将y=sin

x

2

的图象向左平移

π

2

个单位，可得y=sin[

1

2

(x+

π

2

)]=sin(

1

2

x+

π

4

)=cos[

π

2

-(

1

2

x+

π

4

)]=cos(

1

2

x-

π

4

)，因此正确．
④函数f（x）=lnx+3x-6在（0，+∞）上单调递增；
∵f（1）=0+3-6=-3＜0，f（2）=ln2+6-6=ln2＞0，
∴函数f（x）在区间（1，2）上存在零点，并且只有一个．因此正确．
⑤当a=0时，1＞0恒成立；
当a≠0时，关于x的不等式ax²+2ax+1＞0恒成立，则

a＞0 △=4a2-4a＜0

，解得0＜a＜1．
综上可知：a∈[0，1）；因此⑤不正确．
综上可知：正确的为①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题综合考查了函数的性质、三角函数的图象性质与变换、“三个二次的关系”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．