Question

8．P为△ABC内部一点，且满足|PB|=2|PA|=2，$∠APB=\frac{5π}{6}$，且$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow 0$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{9}{8}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 1
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 可作图：延长PA到D，使PD=2PA，延长PB到F，使PE=3PB，并连接DE，取DE中点F，并连接PF，设交AB于O，连接AF，从而有AF∥PE，且$AF=\frac{1}{2}PE$，从而得出$\frac{AF}{PB}=\frac{FO}{PO}=\frac{3}{2}$，这样便可得到$PF=\frac{5}{2}PO$，根据作图过程可以得到$2\overrightarrow{PF}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$，从而有PF=2PC，进一步便可得到$CO=\frac{9}{4}PO$，从而${S}_{△ABC}=\frac{9}{4}{S}_{△PAB}$，而根据条件可以求出S_△PAB，从而可以得出△ABC的面积．

解答 解：如图，
延长PA到D，使PD=2PA，延长PB到F，使PE=3PB，连接DE，取DE中点F，并连接PF，设交AB于O，连接AF，则：
AF∥PE，且$AF=\frac{1}{2}PE=\frac{3}{2}PB$；
∴$\frac{AF}{PB}=\frac{3}{2}=\frac{FO}{PO}$；
∴$FO=\frac{3}{2}PO$，∴$PF=\frac{5}{2}PO$；
∵$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PF}$；
∴$2\overrightarrow{PF}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴PF=2PC；
∴$\frac{5}{2}PO=2PC$，即$PC=\frac{5}{4}PO$；
∴$CO=\frac{9}{4}PO$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{9}{4}{S}_{△PAB}$；
∵${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}•1•2•sin\frac{5π}{6}=\frac{1}{2}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{9}{8}$．
故选：A．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及三角形中位线的性质，相似三角形的对应边的比例关系，三角形的面积公式，向量的数乘运算．