Question

4．已知函数f（x）=2|x-1|-a，g（x）=-|x+m|（a，m∈R），若关于x的不等式g（x）＞-1的整数解有且仅有一个值为-3．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件解绝对值不等式可得-1-m＜x＜1-m，再根据不等式的整数解有且仅有一个值为-3，可得-4≤-1-m＜-3＜1-m≤-2，由此求得m的值．
（Ⅱ）由题意可得2|x-1|+|x+3|＞a对任意x∈R恒成立，利用分段函数的性质求得2|x-1|+|x+3|的最小值，可得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）由g（x）＞-1，即-|x+m|＞-1，|x+m|＜1，∴-1-m＜x＜1-m，
∵不等式的整数解有且仅有一个值为-3，则-4≤-1-m＜-3＜1-m≤-2，
解得m=3．
（Ⅱ）因为y=f（x）的图象恒在函数y=g（x）的图象上方，故f（x）-g（x）＞0，
∴2|x-1|+|x+3|＞a对任意x∈R恒成立，
设h（x）=2|x-1|+|x+3|，则$h（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-1，x≤-3}\\{5-x，-3＜x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}}\right.$，
∴h（x）在（-∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
∴当x=1时，h（x）取得最小值4，
∴4＞a，
∴实数a的取值范围是（-∞，4）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，分段函数的应用，属于中档题．