Question

18．已知x＞0，y＞0且x+y=2，则$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{1}{xy}$的最小值为3．

Answer 1

分析 由基本不等式可得$xy≤（\frac{x+y}{2}）^{2}$，然后对已知式子进行求解即可

解答 解：∵x＞0，y＞0且x+y=2
∴$xy≤（\frac{x+y}{2}）^{2}$=1（当且仅当x=y=1时取等号）
则$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{1}{xy}$$≥\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{{y}^{2}}+1$$≥2\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}•\frac{1}{{y}^{2}}}+1$=$\frac{2}{xy}+1$$≥\frac{2}{（\frac{x+y}{2}）^{2}}+1$=3（当且仅当x=y时取等号）
即$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{y}^{2}}$+$\frac{1}{xy}$的最小值3
故答案为：3

点评 本题主要考查基本不等式在求解最值中的应用，解题时要注意等号成立条件的检验