Question

2．曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）在点P（x₀，y₀）处的切线为l．若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，则△OAB（其中O为坐标原点）的面积为（　　）

• A． 4+2$\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 5+2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 利用导数法确定切线方程y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），从而解出点A，B的坐标，从而求面积．

解答 解：∵y=$\frac{1}{x}$，∴y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
故y₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，y′|${\;}_{x={x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
故直线l的方程为
y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
令x=0得，y=2$\frac{1}{{x}_{0}}$，
令y=0得，x=2x₀，
故S=$\frac{1}{2}$•2$\frac{1}{{x}_{0}}$•2x₀=2，
故选C．

点评 本题考查了导数的几何意义与导数的计算，属于中档题．