Question

12．如图，已知AB是圆O的直径，AB=2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上半圆上的动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，记∠POB=x，将△OPC和△PCD的面积之和表示成x的函数f（x），则y=f（x）取最大值时x的值为（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{2}$
• D． π

Answer 1

分析 由三角形面积公式可得S_△OPC=sinx，由余弦定理可得PC²=1²+2²-2•1•2•cosx=5-4cosx，从而求得S_△PCD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosx），再利用三角恒等变换求最大值时的x的值．

解答 解：S_△OPC=$\frac{1}{2}$OP•OC•sinx=sinx，
PC²=1²+2²-2•1•2•cosx=5-4cosx，
S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC²•sin$\frac{π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosx），
故f（x）=sinx+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（5-4cosx），
f（x）=sinx-$\sqrt{3}$cosx+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$
=2sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
故当x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{5π}{6}$时，有最大值；
故选A．

点评 本题考查了三角形面积公式的应用及解三角形的应用，同时考查了三角恒等变换的应用，属于中档题．