Question

6．已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且f（x）在（-∞，0）上是减函数，f（2）=0，g（x）=f（x+2），则不等式xg（x）≤0的解集是（　　）

• A． （-∞，-2]∪[2，+∞）
• B． [-4，-2]∪[0，+∞）
• C． （-∞，-4]∪[-2，+∞）
• D． （-∞，-4]∪[0，+∞）

Answer 1

分析 由题意可得g（x）关于点（-2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（-4）=f（-2）=0，画出g（x）的单调性示意图，数形结合求得不等式xg（x）≤0的解集．

解答 解：由题意可得g（x）的图象是把f（x）的图象向左平移2个单位得到的，
故g（x）关于点（-2，0）对称，g（0）=f（2）=0，g（-4）=f（-2）=0，
它的单调性示意图，如图所示：
根据不等式xg（x）≤0可得，x的符号和g（x）的符号相反，
∴xg（x）≤0的解集为（-∞，-4]∪[-2，+∞），
故选：C．

点评 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数图象的平移规律，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．