Question

已知数列{a_n}满足a₁＝0，a₂＝1，当n∈N^*时，a_n＋2＝a_n＋1＋a_n.求证：数列{a_n}的第4m＋1项(m∈N^*)能被3整除．

Answer 1

 (1)当m＝1时，a_4m＋1＝a₅＝a₄＋a₃＝(a₃＋a₂)＋(a₂＋a₁)＝(a₂＋a₁)＋2a₂＋a₁＝3a₂＋2a₁＝3＋0＝3.

即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．故命题成立．

(2)假设当m＝k时，a_4k＋1能被3整除，

则当m＝k＋1时，

a_4(k＋1)＋1＝a_4k＋5＝a_4k＋4＋a_4k＋3

＝2a_4k＋3＋a_4k＋2＝2(a_4k＋2＋a_4k＋1)＋a_4k＋2

＝3a_4k＋2＋2a_4k＋1.

显然，3a_4k＋2能被3整除，

又由假设知a_4k＋1能被3整除．

∴3a_4k＋2＋2a_4k＋1能被3整除．

即当m＝k＋1时，a_4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．

由(1)和(2)知，对于n∈N^*，数列{a_n}中的第4m＋1项能被3整除．