Question

已知曲线C：y²＝2x(y≥0)，A₁(x₁，y₁)，A₂(x₂，y₂)，…，A_n(x_n，y_n)，…是曲线C上的点，且满足0<x₁<x₂<…<x_n<…，一列点B_i(a_i,0)(i＝1,2，…)在x轴上，且△B_i－1A_iB_i(B₀是坐标原点)是以A_i为直角顶点的等腰直角三角形．

(1)求A₁，B₁的坐标；

(2)求数列{y_n}的通项公式；

(3)令b_i＝，c_i＝，是否存在正整数N，当n≥N时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

　(1)∵△B₀A₁B₁是以A₁为直角顶点的等腰直角三角形，

∴直线B₀A₁的方程为y＝x.

由得x₁＝y₁＝2，即点A₁的坐标为(2,2)，进而得B₁(4,0)．

(2)根据△B_n－1A_nB_n和△B_nA_n＋1B_n＋1分别是以A_n和A_n＋1为直角顶点的等腰直角三角形可得

即x_n＋y_n＝x_n＋1－y_n＋1.(*)

∵A_n和A_n＋1均在曲线C：y²＝2x(y≥0)上，

∴数列{y_n}是以y₁＝2为首项，2为公差的等差数列．

∴其通项公式为y_n＝2n(n∈N^*)．

当n＝1时，b₁＝c₁不符合题意，当n＝2时b₂<c₂符合题意，当n＝3时，b₃<c₃，符合题意，猜想对于一切大于或等于2的自然数都有，(*)

观察知，欲证(*)式成立，只需证明n≥2时，n＋1≤2ⁿ.

以下用数学归纳法证明，

①当n＝2时，左边＝3，右边＝4，左边<右边；

②假设n＝k(k≥2)时，k＋1<2^k，当n＝k＋1时，

左边＝(k＋1)＋1<2^k＋1<2^k＋2^k＝2^k＋1＝右边．

∴对于一切大于或等于2的正整数，都有n＋1<2ⁿ，

即成立．

综上，满足题意的n的最小值为2.