Question

如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，过点D的⊙O的切线与BA的延长线交于点M.

(1)若MD＝6，MB＝12，求AB的长；

(2)若AM＝AD，求∠DCB的大小．

Answer 1

　(1)因为MD为⊙O的切线，由切割线定理知，

MD²＝MA·MB.

又MD＝6，MB＝12，MB＝MA＋AB，

所以MA＝3，AB＝12－3＝9.

(2)因为AM＝AD，所以∠AMD＝∠ADM，连接DB，

又MD为⊙O的切线，

由弦切角定理知，∠ADM＝∠ABD，

又因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB为直角，

即∠BAD＝90°－∠ABD.

又∠BAD＝∠AMD＋∠ADM＝2∠ABD，

于是90°－∠ABD＝2∠ABD，所以∠ABD＝30°.

所以∠BAD＝60°.

又四边形ABCD是圆内接四边形，

所以∠BAD＋∠DCB＝180°.

所以∠DCB＝120°.