Question

1．四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，CD=2，DD₁=AB=1，P，Q为CC₁，C₁D₁的中点，求证：
（1）AQ∥平面BCC₁B₁；
（2）AC∥平面BPQ．

Answer 1

分析 （1）由已知结合三角形中位线定理证明四边形ABC₁Q为平行四边形，从而得到AQ∥BC₁，再由线面平行的判断得答案；
（2）取CD中点H，连接A₁C₁，B₁Q，交于E，连接AC，BH交于F，可得四边形BHQB₁为平行四边形，连接EF，BQ交于G，连接PG，则PG∥FC，再由线面平行的判定证明AC∥平面BPQ．

解答 证明：（1）如图，连接BC₁，∵AB∥CD，CD∥C₁Q，∴AB∥C₁Q，
又AB=1，C₁D₁=2，Q为C₁D₁的中点，∴AB=C₁Q，
则四边形ABC₁Q为平行四边形，∴AQ∥BC₁，
∵AQ?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AQ∥平面BCC₁B₁；
（2）取CD中点H，连接A₁C₁，B₁Q，交于E，连接AC，BH交于F，
四边形BHQB₁为平行四边形，连接EF，BQ交于G，连接PG，则PG∥FC，
即AC∥PG，
∵PG?平面PBQ，AC?平面PBQ，
∴AC∥平面BPQ．

点评 本题考查线面平行的判定，证明直线和平面的平行问题，常借助于三角形的中位线证得线线平行，是中档题．