【题目】在如图所示的几何体中,四边形ABCD为平行四边形,∠ABD=90°,EB⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,EB=,EF=1,BC=
,且M是BD的中点。
(1)求证:EM∥平面ADF;
(2)求二面角D-AF-B的余弦值;
(3)在线段ED上是否存在一点P,使得BP∥平面ADF?若存在,求出EP的长度;若不存在,请说明理由。
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析
【解析】
(1)取AD的中点N,连接MN、NF.由三角形中位线定理,结合已知条件,证出四边形MNFE为平行四边形,从而得到EM∥FN,结合线面平行的判定定理,证出EM∥平面ADF;
(2)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,求出平面ADF、平面EBAF的一个法向量,利用向量的夹角公式,可求二面角D﹣AF﹣B的大小;
(3)假设在线段ED上存在一点P,使得BP与平面ADF平行,利用向量法即可得到结果.
(1)取AD的中点N,连接MN,NF。
在△DAB中,M是BD的中点,N是AD的中点,所以MN∥AB,MN=AB,
又因为EF∥AB,EF=AB,
所以MN∥EF且MN=EF,
所以四边形MNFE为平行四边形,
所以EM∥FN,
又因为FN平面ADF,EM
平面ADF,
故EM∥平面ADF。
解法二:因为EB⊥平面ABD,AB⊥BD,故以B为原点,
建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz。
由已知可得B(0,0,0),A(0,2,0),D(3,0,0),C(3,-2,0),
E(0,0,),F(0,1,
),M(
,0,0)。
(1)=(
,0,
),
=(3,-2,0),
=(0,-1,
)。
设平面ADF的一个法向量是
由得
令,则
=(2,3,
)。
又因为·
=(
,0,
)·(2,3,
)=3+0-3=0,
所以⊥
,又EM
平面ADF,所以EM∥平面ADF。
(2)由(1)可知平面ADF的一个法向量是=(2,3,
)因为EB⊥平面ABD,所以EB⊥BD,
又因为AB⊥BD,所以BD⊥平面EBAF,故=(3,0,0)是平面EBAF的一个法向量,
所以>=
,又二面角D-AF-B为锐角,故二面角D-AF-B的余弦值为
。
(3)假设在线段ED上存在一点P,使得BP与平面ADF平行。
不妨设=
=(3
,0,-
)(0≤
≤1),
则=(3
,0,3-
)。所以
·n=6
+0+3
-3
=0,
由题意得=
<0,所以在线段ED上不存在点P,使得BP与平面ADF平行。
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【题目】设是双曲线
:
的右焦点,
是
左支上的点,已知
,则
周长的最小值是_______.
【答案】
【解析】
设左焦点为,利用双曲线的定义,
得到当
三点共线时,三角形
的周长取得最小值,并求得最小的周长.
设左焦点为,根据双曲线的定义可知
,所以三角形
的周长为
,当
三点共线时,
取得最小值,三角形
的周长取得最小值.
,故三角形周长的最小值为
.
【点睛】
本小题主要考查双曲线的定义,考查三角形周长最小值的求法,属于中档题.
【题型】填空题
【结束】
16
【题目】已知分别是双曲线
的左、右焦点,过点
作垂直与
轴的直线交双曲线于
,
两点,若
为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是_______.
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【题目】设函数的图象为C,则下列结论中正确的是( )
A.图象C关于直线对称
B.图象C关于点对称
C.函数在区间
内是增函数
D.把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到图象C
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【题目】某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力。某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果。例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人。
视觉 听觉 | 视觉记忆能力 | ||||
偏低 | 中等 | 偏高 | 超常 | ||
听觉 记忆 能力 | 偏低 | 0 | 7 | 5 | 1 |
中等 | 1 | 8 | 3 | b | |
偏高 | 2 | a | 0 | 1 | |
超常 | 0 | 2 | 1 | 1 |
由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为。
(1)试确定a,b的值;
(2)从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为X,求随机变量X的分布列。
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【题目】设,关于
的方程
,给出下列四个命题,其中假命题的个数是( )
①存在实数,使得方程恰有
个不同的实根;
②存在实数,使得方程恰有
个不同的实根;
③存在实数,使得方程恰有
个不同的实根;
④存在实数,使得方程恰有
个不同的实根.
A.B.
C.
D.
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【题目】给出下列四个命题:①若直线,那么直线
必平行于平面
内的无数条直线;②一个长为
,宽为
的矩形,其直观图的面积为
;③若函数
的定义域是
,则
的定义域是
;④定义在
上的函数
,若
,则函数
的图象关于点
中心对称.其中所有正确命题的编号为____________.
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