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已知函数f(x)=
1
x
-log2
a+x
1-x
为奇函数.
(1)求常数a的值;
(2)判断函数的单调性,并说明理由;
(3)函数g(x)的图象由函数f(x)的图象先向右平移2个单位,再向上平移2个单位得到,写出g(x)的一个对称中心,若g(b)=1,求g(4-b)的值.
(1)因为函数为奇函数,所以定义域关于原点对称,由
a+x
1-x
>0

得(x-1)(x+a)<0,所以a=1.
这时f(x)=
1
x
-log2
1+x
1-x
,满足f(-x)=-f(x),函数为奇函数,因此a=1.
(2)函数为单调递减函数.f(x)=
1
x
-log2(-1-
2
x-1
)

利用已有函数的单调性加以说明.∵-1-
2
x-1
在x∈(-1,1)上单调递增,因此log2(-1-
2
x-1
)
单调递增,又
1
x
在(-1,0)及(0,1)上单调递减,因此函数f(x)在(-1,0)及(0,1)上单调递减.
(3)因为函数f(x)为奇函数,因此其图象关于坐标原点(0,0)对称,
根据条件得到函数g(x)的一个对称中心为(2,2),
因此有g(4-x)+g(x)=4,因为g(b)=1,因此g(4-b)=3.
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