Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4

2

，点P（2，1）在椭圆上，平行于OP（O为坐标原点）的直线l交椭圆于（xA，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，那么k₁+k₂，是否为定值，若是求出该定值，若不是说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得a=2

2

…（1分）设椭圆方程为

x2

8

+

y2

b2

=1，将点P（2，1）代入能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（Ⅰ）得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．由k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，利用韦达定理结合已知条件能推导出k₁+k₂=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4

2

，点P（2，1）在椭圆上，
∴由已知得a=2

2

…（1分）
设椭圆方程为

x2

8

+

y2

b2

=1，
将点P（2，1）代入解得b²=2…（3分）
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1．…（4分）
（Ⅱ）k₁+k₂=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（Ⅰ）得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．…（6分）
∵k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

∴k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m+2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0，
∴k₁+k₂=0…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率之和是否为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．