Question

7．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$，则$\frac{x+y}{x+2}$的最大值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求表达式的最大值．

解答 解：作出不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}}\right.$对应的平面区域：
$\frac{x+y}{x+2}$=1+$\frac{y-2}{x+2}$的几何意义为区域内的点到P（-2，2）的斜率加1，
由图象知，PA的斜率最大
由$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{x-2y+4=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（2，3），
故PA的斜率k=$\frac{3-2}{2+2}$=$\frac{1}{4}$．
所求表达式的最大值为：1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查线性规划和直线斜率的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．