Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的最小正周期为

2π

3

，最小值为-2，图象过（

5π

9

，0），求：
（1）该函数的解析式；
（2）若x∈[0，

π

3

]，求f（x）的值域；
（3）若x∈[0，

π

3

]，且g（x）=f（x）-a有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的周期性及其求法

专题：综合题,三角函数的图像与性质

分析：（1）依题意知，A=2，由T=

2π

3

=

2π

ω

易求ω=3；由3×

5π

9

+φ=kπ（k∈Z），|φ|＜

π

2

，可求得φ，从而得该函数的解析式；
（2）x∈[0，

π

3

]⇒3x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]⇒-

3

2

≤sin（3x+

π

3

）≤1；从而可得f（x）的值域；
（3）依题意知，当

π

3

≤3x+

π

3

≤

2π

3

且3x+

π

3

≠

π

2

，即0≤x≤

π

9

且x≠

π

18

时，g（x）=f（x）-a有两个零点，此时可解得

3

2

≤sin（3x+

π

3

）＜1，从而可求得a的取值范围．

解答： 解：（1）依题意，知A=2，由T=

2π

3

=

2π

ω

得：ω=3；
又3×

5π

9

+φ=kπ（k∈Z），
∴φ=kπ-

5π

3

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

，
∴f（x）=2sin（3x+

π

3

）；
（2）∵x∈[0，

π

3

]，
∴3x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（3x+

π

3

）≤1；
∴f（x）的值域为[-

3

，2]；
（3）由（2）知3x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
当

π

3

≤3x+

π

3

≤

2π

3

且3x+

π

3

≠

π

2

，即0≤x≤

π

9

且x≠

π

18

时，g（x）=f（x）-a有两个零点，
此时

3

2

≤sin（3x+

π

3

）＜1，

3

≤f（x）=2sin（3x+

π

3

）＜2，
即

3

≤a＜2，
∴a的取值范围为[

3

，2）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．